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设点A(1,0,0)与B(0,1,1),线段
绕Oz轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S与两平面z=0和z=1所围成立体的体积.
证明:若
s是V的边界曲面，则成立下面公式:
式中u在V+S上有连续二阶导数，
为沿曲面S外法线方向的导数.
利用二重积分求下列立体Ω的体积：
(1)由曲面z=1-x2-y2和平面y=x、y=√3x、z=0所围区域在第一卦限中的部分;
(2)由曲面z=x2+y2与z=√(x2+y2)所围立体;
(3)在抛物面z=x2+y2以下，Oxy平面以上，且在圆柱面x2+y2=2x之内的部分的体积;
(4)由曲面2y2=x、x/4+y/2+z/4=1，z=0所围立体。
计算曲面积分
其中S是由曲面x2+y2=R2及两平面z=R,z=-R(R＞0)所围立体表面的外侧.
S为包围区域V的同面的外侧,则
平面间所限的柱面面积等于S=
.
