设V是一个n维欧氏空间。证明:
(i)如果W是V的一个子空间,那么
(ii)如果W1,W2都是V的子空间,且
(iii)如果W1,W2都是V的子空间,那么
设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而
证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。
设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足
证明:
1)α1,α2,···,αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量,使其两两夹角都大于π/2。
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f(α,β),β∈V。
试证:1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;
2)对V的每组基ε1,...,εn,有V的唯一的一组基ε1',...,εn'使f(εi,εj')=δij;
3)如果V是复数域上n维线性空间,则有一组基η1,...,ηn,使ηi=ηi',i=1,...,n。
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?