给定线性空间F3的两组基:α1=(1,0,1),α2=(2,1,0),α3=(1,1,1),η1=(1,2,-1),η2=(2,2,-1),η3=(2,-1,-1)。设σ是F3的线性变换,且σ(αi)=ηi,i=1,2,3。
(1)写出由基α1,α2,α3到η1,η2,η3的过渡矩阵;
(2)写出σ在基α1,α2,α3下的矩阵;
(3)写出σ在基η1,η2,η3下的矩阵。
设un(x)(n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数.证明:若与都绝对收敛,则级数在[a,b]上绝对且一致收敛.
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:
(1)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2];
(2)f(x)=sin2x-x,x∈[-π/2,π/2];
(3)f(x)=(x-1)/(x+1),x∈[0,4];
(4)f(x)=2tanx-tan2x,x∈[0,π/2];
(5)f(x)=√xlnx,x∈(0,+∞)。
设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]