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以下是从N到N不存在双射函数的证明。试指出其错误。
假设f是从N到N的一个双射函数，f(k)=ik。对每一ik，颠倒ik的数字并放小数点于左边以构成一个在[0,1]中的数。例如若ik=123，则被构成.32100。这样，定义了一个从N到[0,1]的单射函数g。例如
g(123)=.321000…
应用康脱对角线技术于数组
来构造数y∈[0,1].现在把y的数字颠倒，并把小数点放在右边。其结果是一个不出现在表f(0),f(1),f(2)…中的数，这与断言f是满射函数矛盾。因此，从N到N没有双射函数存在。
设u(x,y),v(x,y)具具有二阶连续偏导数的函数,证明:
其中D为光滑闲曲线L所围的平面区域,而
是u(x,y),v(x,y)沿曲线L的外法线n方向导数.
n=1,2...
