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[主观题]

设平面的一个仿射变换τ使直线I上的每一点都不动,τ(4)=A',τ(B)=B'.证明:(1)直线AB与A'B'或者同时平行于I,或者相交于I上一点.(2)直线AA'与BB'彼此平行.

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第1题
证明:分别对于两个相交平面的仿射变换的乘积是一个绕定直线的旋转.

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第2题
如果平面的一个点变换τ,使得对应线段的长度之比为一个正常数k,则称τ为相似,称k为相似系数.(1)证明相似是仿射变换:(2)证明相似把一个三角形变到一个与之相似的三角形:(3)证明相似可以分解成一个正交变换与一个位似的乘积.

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第3题
在仿射变换下,在不共线的3个不动点所在的平面上的每一点都是不动点.

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第4题
证明:空间中任给两组不共面的四点A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3,B4则存在唯一的仿射变换,把Ai变成Bi,i=1,2,3,4.

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第5题
平面上的点变换σ把直角坐标系Ⅰ变到直角坐标系Ⅱ,并且使每一点P在Ⅰ下的坐标与它的像P'在Ⅱ下的坐标相同,则σ是正交变换.

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第6题
数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作一个对合变换,如果σ2=t,t是单位变换,设σ是V的一个对合变换。证明:(i)σ的本征值只能是±1;(ii)V=V1⊕V-1,这里V1是σ的属于本征值1的本征子空间,V-1是σ的属于本征值-1的本征子空间。

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第7题
设一直线过点(6,4,2)且垂直于坐标平面Oyz,在直线上求一点P使它与点(0,4,0)的距离为10。

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第8题
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设a1,a2,...,an是n个不同的数,而F(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an),b1,b2,...,bn是任意n个数,显然适合条件L(ai)=bi,i=1,2,...,n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。

利用上面的公式求:

1)一个次数<4的多项式f(x),它适合条件:f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2。

2)一个二次多项式f(x),它在x=0,2/π,π处与函数sinx有相同的值。

3)一个次数尽可能低的多项式f(x),使f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10。

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第9题
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A。已知|MA|=|OA|,且L过点(3/2,3/2),求L的方程。

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第10题
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证明:如果f(z)在复平面上除了有限个奇点外,在每一点解析,那么这函数在所有奇点上的留数(包括在无穷远点的留数)之和是零。用此结果计算积分

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第11题
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设D是z平面上介于直线x-γ=0与x-y+π/)=0之间的带形域,试求把D映为w平面上的单位圆的一个共形映射.

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