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设f(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x),且
,证明
f(x)=A,x∈(0,+∞).
设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内可微分且|f(x)|≤a＜1.任取一点x0∈(-∞,+∞),并令
证明必有极限
称ξ为方程x=f(x)的不动点.
下章将要证明:在任何区城D内解析函数f(z)一定有任意阶导数。由此证明，
(1)f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程，
(2)在D内,
设
其中0＜k＜1(这两个积分称为完全椭圆积分).
(1)试求E(k)与F(k)的导数,并以E(k)与F(k)表示它们;
(2)证明E(k)满足方程
设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F(图2-22)，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力σy=0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
对于角动量算符
(a) 在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式。
(b) 定义升降算符
利用对易关系
证明：若f是L2和Lz的共同本征态，则
也是L2和Lz的本征态。
(c) 在球坐标系中，求解Lz的本征方程。
，而t是由方程
所确定的x,y的隐函数，其中f和F都具有连续偏导数。证明
所给定，且
证明：
