计算下列各三重积分:
(1)其中Ω为由坐标平面x=0,y=0,z=0和平面x+y+z=1围成的四面体.
利用适当的方法,计算下面各三重积分:
(1),Ω为抛物面x2+y2=2z与平面z=2围成的区域.
求下列各积分的值:
(1),其中C为以 为顶点的正方形;
(2),其中C为|z|=1;
(3),其中C为以为顶点的正方形;
(4),其中C为:.
利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度ρ=1):
(1)z2=x2+y2,z=1;
(2),(A>a>0),z=0;
(3)z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.
计算下列曲面积分:
(1),其中是界于平面z=0及z=H之间的圆柱面x2+y2=R2;
(2),其中是被平面z=1割下的有限部分。
计算下列第二型曲线积分:
(1),其中为图中所示的三种不同的路线;
(2)xdy-ydx,其中为图中所示的三种不同的路线;
(3)(2a-y)dx+dy,其中L为旋轮线0≤t≤2π沿t增加方向的一段;
(4),其中L为圆x2+y2=a2沿逆时针方向的一周;
(5)ydx+zdy-xdz,其中L为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段;
(6)(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz,其中L为球面x2+y2+z2=1在第一卦限部分的边界曲线,其方向沿曲线依次经过坐标平面Oxy、Oyz和Ozx。
利用直角坐标计算下列三重积分:
(1),其中几由平面y=x,x=1,z=0及曲面z=xy围成;
(2),其中是由平面x=0,y=0,z=0及x+v+x=1所围成的四面体.
利用柱面坐标计算下列三重积分:
(1),其中Ω是由曲面及z=x2+y2所围成的闭区域;
(2),其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.
在z面上,切应力之间有关系式
或由切应力互等关系写成
将上式两边乘以dz,并沿板厚从到积分,得到横向剪力的变换式
而又可以表示为
试证:将一阶导数的变换式代入式(d),并与式(c)相比,便可导出极坐标中薄板的横向剪力公式,即教材中式(9-10)中的和的公式。
计算下列三重积分:
Ω是由平面x=0、y=1、z=0、y=x和曲面z=xy所围成的闭区域。
Ω是两个球体x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz的公共部分(R>0)
计算下列第一型曲面积分:
(1)其中S为平面在第一卦限的部分;
(2),其中S是曲面z=x+y2,0≤x≤1,0≤y≤2;
(3),其中S为球面x2+y2+z2=a2;
(4)其中S为锥面z=√(x2+y2)被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分。