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[主观题]

序列中元素A[i]和A[j]若满足i<j且A[i]>A[j],则称之为一个逆序对(inversion)。考查如教材80页代

序列中元素A[i]和A[j]若满足i<j且A[i]>A[j],则称之为一个逆序对(inversion)。考查如教材80页代码3.19所示的插入排序算法List::insertionSort(),试证明:

a)若所有逆序对的间距均不超过k,则运行时间为o(kn);

b)特别地,当k为常数时,插入排序可在线性时间内完成;

c)若共有I个逆序对,则关键码比较的次数不超过o(I);

d)若共有I个逆序对,则运行时间为o(n+I)。

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第1题
请改写二分搜索算法,使得当搜索元素x不在数组中时,返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j.设a[0:n-1]是已排好序的数组.当搜索元素在数组中时,i和j相同,均为x在数组中的位置.

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第2题
用Eij表示i行j列的元素为1,而其余元素全为零的nxn矩阵,A=(aij)nxn。证明:1)如果AE≇

用Eij表示i行j列的元素为1,而其余元素全为零的nxn矩阵,A=(aij)nxn。证明:

1)如果AE12=E12A,那么当k≠1时ak1=0,当k≠2时a2k=0;

2)如果AEij=EijA,那么当k≠i时aki=0,当k≠j时ajk=0,且aii=ajj;

3)如果A与所有的n级矩阵可交换,那么A一定是数量矩阵,即A=aE。

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第3题
可以按以下步骤证明矩阵的乘法满足结合律。(i)设B=(bij)是一个nxp矩阵,令是B的第j列,j=1,2,

可以按以下步骤证明矩阵的乘法满足结合律。

(i)设B=(bij)是一个nxp矩阵,令是B的第j列,j=1,2,...,p,又设是任意一个px1矩阵。证明:

(ii)设A是一个mxn矩阵,利用(i)及习题2的结果,证明:A(Bξ)=(AB)ξ。

(iii)设C是一个ρxq矩阵,利用(ii)证明:A(BC)=(AB)C。

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第4题
设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f

设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f(α,β),β∈V。

试证:1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε1,...,εn,有V的唯一的一组基ε1',...,εn'使f(εi,εj')=δij;

3)如果V是复数域上n维线性空间,则有一组基η1,...,ηn,使ηii',i=1,...,n。

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第5题
设R是集合A.上的一个自反、对称和传递的关系,若{A1,A2,...,Ak}是A的子集的集合.当i
≠j时,使a和b在个一子集中当且仅当∈R,求证{A1,A2,...,Ak}是A的一个划分。

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第6题
设在n阶行列式中,aij=-aji(i,j=1,2,...,n)证明:当n是奇数时,D=0。

设在n阶行列式

中,aij=-aji(i,j=1,2,...,n)证明:当n是奇数时,D=0。

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第7题
完全消耗系数是j指部门单位()中直接消耗与间接消耗i部门产品和服务的数量。

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第8题
设其中ai≠aj,当i≠j(i,j=1,2,...,n)。证明:与A可交换的矩阵只能是对角矩阵。

其中ai≠aj,当i≠j(i,j=1,2,...,n)。证明:与A可交换的矩阵只能是对角矩阵。

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第9题
设Rj表示I上的模j等价关系,Rt表示I上的模k等价关系,证明:I/Rt细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。

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第10题
设,k=0,1,2,...;aij=si+j-2,i,j=1,2,...,n。证明:

,k=0,1,2,...;aij=si+j-2,i,j=1,2,...,n。证明:

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第11题
问题描述:机器人Rob在一个有n×n个方格的方形区域F中收集样本.(i,j)方格中样本的价值为v(i,j),

问题描述:机器人Rob在一个有n×n个方格的方形区域F中收集样本.(i,j)方格中样本的价值为v(i,j),如图3-6所示.Rob从方形区域F的左上角A点出发,向下或向右行走,

直到右下角的B点,在走过的路上,收集方格中的样本.Rob从A点到B点共走2次,试找出Rob的2条行走路径,使其取得的样本总价值最大.

算法设计:给定方形区域F中的样本分布,计算Rob的2条行走路径,使其取得的样本总价值最大.

数据输入:由文件input.xt给出输入数据.第1行有1个正整数n,表示方形区域F有n×n个方格.按下来每行有3个整数,前2个数表示方格位置,第3个数为该位置样本价值.最后一行是3个0.

结果输出:将计算的最大样本总价值输出到文件output.txt.

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