设a1,a2,...,an是n个不同的数,而F(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-an),b1,b2,...,bn是任意n个数,显然适合条件L(ai)=bi,i=1,2,...,n。这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。
利用上面的公式求:
1)一个次数<4的多项式f(x),它适合条件:f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2。
2)一个二次多项式f(x),它在x=0,2/π,π处与函数sinx有相同的值。
3)一个次数尽可能低的多项式f(x),使f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10。
设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为
求:(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率:
(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
(3)F(X).
随机变量X的概率密度为
(1)求Y的概率密度;
(2)求(X,Y)的联合分布函数F(x,y)在x=-1/2,y=4的值。
设f(x)∈C[x],用f(x)表示将f(x)的系数换成它们的共轭数后所得的多项式,试证:
1)若则
2)存在使
求一个次数尽可能低的多项式f(x)使得下面条件成立:
1)
2)
3)n处与函数sinx有相同的值.
设f(x1,x2,···,xn)=X'AX是一实二次型,λ1,λ2,···,λn是A的特征多项式的根,且λ1≤λ2≤···≤λn。证明:对任一X∈Rn,有
设f(x),g(x)∈P[x].m(x)∈P[x]叫f(x),g(x)的最小公倍式,如果m(x)满足下面条件:
试证:
1)f(x),g(x)的最小公倍式存在,且除一个非零常数因子外是唯一一的。
2)以[f(x),g(x)]表示f(x),g(x)的首项系数为1的最小公倍式,若f(x),g(x)都是首一的,则[f(x),g(x)](f(x),g(x))=f(x)g(x).
3)设
为f(x).g(x)的标准分解,则