求一物体的体积,此物体的界面为:平面z=0,抛物面,以及以球面
与这个抛物面的交线为准线的正柱面(a,b,c>0).
计算下列线积分:
(1)∫(C)(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz,(C)为球面
x2+y2+z2=R2
在第一卦限部分的边界曲线,方向与球面在第一卦限的外法线方向构成右手系;
(2)∫(C)F·ds,F=(3x2-3yz+2xz)i+(3y2-3xz+z2)j+(3z2-3xy+x2+2yz)k,(C)为曲线取其正向。
计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴的正向看去L为逆时针方向
计算曲线积分I=∮L(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz。其中曲线L为圆柱面x2+y2=a2与平面(a>0,h>o)的交线,从x轴正向看去,曲线是逆时针方向。
计算下列第二型曲线积分:
(1),其中
为图中所示的三种不同的路线;
(2)xdy-ydx,其中
为图中所示的三种不同的路线;
(3)(2a-y)dx+dy,其中L为旋轮线
0≤t≤2π沿t增加方向的一段;
(4),其中L为圆x2+y2=a2沿逆时针方向的一周;
(5)ydx+zdy-xdz,其中L为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段;
(6)(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz,其中L为球面x2+y2+z2=1在第一卦限部分的边界曲线,其方向沿曲线依次经过坐标平面Oxy、Oyz和Ozx。
计算下列第一型曲面积分:
(1)其中S为平面
在第一卦限的部分;
(2),其中S是曲面z=x+y2,0≤x≤1,0≤y≤2;
(3),其中S为球面x2+y2+z2=a2;
(4)其中S为锥面z=√(x2+y2)被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分。
求椭圆抛物面2y2+x2=z与抛物柱面2-x2=z的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程